Правила формирования вариантов последовательности 0 и 1 в классах и во всей системе Н.А. Тенетко
Правила формирования вариантов последовательности 0 и 1 в классах и во всей системе Н.А. Тенетко LaTEX
Алфавит:
N = 2
0 ↔ ранг 0
1 ↔ ранг 1
Общее правило:
position начинается с 1
правый символ изменяется быстрее
чтение слева направо
Класс 3
Всего вариантов:
[ 2^3=8. ]
position=1 → 000
position=2 → 001
position=3 → 010
position=4 → 011
position=5 → 100
position=6 → 101
position=7 → 110
position=8 → 111
Формула:
[ \operatorname{position}
1+b_0\cdot22+b_1\cdot21+b_2\cdot2^0. ]
Пример:
[ 010 ]
[ =1+0\cdot4+1\cdot2+0\cdot1 ]
[ =3. ]
Класс 4
Всего вариантов:
[ 2^4=16. ]
position=1 → 0000
position=2 → 0001
position=3 → 0010
position=4 → 0011
position=5 → 0100
position=6 → 0101
position=7 → 0110
position=8 → 0111
position=9 → 1000
position=10 → 1001
position=11 → 1010
position=12 → 1011
position=13 → 1100
position=14 → 1101
position=15 → 1110
position=16 → 1111
Формула:
[ \operatorname{position}
1+b_0\cdot23+b_1\cdot22+b_2\cdot21+b_3\cdot20. ]
Пример:
[ 1011 ]
[ =1+1\cdot8+0\cdot4+1\cdot2+1\cdot1 ]
[ =12. ]
Класс 5
Всего вариантов:
[ 2^5=32. ]
position=1 → 00000
position=2 → 00001
position=3 → 00010
position=4 → 00011
position=5 → 00100
position=6 → 00101
position=7 → 00110
position=8 → 00111
position=9 → 01000
position=10 → 01001
position=11 → 01010
position=12 → 01011
position=13 → 01100
position=14 → 01101
position=15 → 01110
position=16 → 01111
position=17 → 10000
position=18 → 10001
position=19 → 10010
position=20 → 10011
position=21 → 10100
position=22 → 10101
position=23 → 10110
position=24 → 10111
position=25 → 11000
position=26 → 11001
position=27 → 11010
position=28 → 11011
position=29 → 11100
position=30 → 11101
position=31 → 11110
position=32 → 11111
Формула:
[ \operatorname{position}
1+b_0\cdot24+b_1\cdot23+b_2\cdot22+b_3\cdot21+b_4\cdot2^0. ]
Пример:
[ 10010 ]
[ =1+1\cdot16+0\cdot8+0\cdot4+1\cdot2+0\cdot1 ]
[ =19. ]
То есть внутри каждого класса варианты идут так, как обычный счёт в двоичной системе от (0) до (2^M-1), только наружу показываем position с единицы:
[ \operatorname{position}
\operatorname{binary_value}+1. ]
Нижний вариант:
[ 000\ldots000 \rightarrow \operatorname{position}=1. ]
Верхний вариант:
[ 111\ldots111 \rightarrow \operatorname{position}=2^M. ]
Да, именно это правило можно брать за основу всей системы. В нём нет логического противоречия: это стандартное позиционное представление последовательностей в основании (N), только оформленное как операторная координата.
Я уверен в математической части на 100% при этих условиях:
алфавит конечный;
порядок операторов фиксирован;
каждый оператор имеет ровно один ранг 0…N-1;
class = длина последовательности;
position начинается с 1;
чтение слева направо;
правый оператор изменяется быстрее.
Тогда соответствие биективно:
[ \text{последовательность} \leftrightarrow (\text{class},\text{position}). ]
То есть каждая последовательность имеет ровно одну координату, и каждая допустимая координата раскрывается ровно в одну последовательность.
Эталон:
[ N=\text{размер алфавита}, ]
[ M=\text{class}, ]
[ d_i=\text{ранг оператора на позиции }i. ]
[ P
1+ \sum_{i=0}^{M-1} d_iN^{M-1-i}. ]
Обратно:
[ Q=P-1. ]
[ d_i
\left\lfloor \frac{Q}{N^{M-1-i}} \right\rfloor \bmod N. ]
Граница:
[ 1\le P\le N^M. ]
Для пустой последовательности:
[ M=0, \qquad P=1. ]
Это правило:
не требует таблиц;
не требует перебора;
не зависит от содержания последовательности;
работает для N=2, 4, 10, 108 и любого конечного N;
даёт полную обратимость;
сохраняет порядок;
однозначно задаёт варианты внутри каждого класса.
Его можно сделать эталоном всей системы:
любое операторное пространство
= фиксированный алфавит + это позиционное правило
А дальше уже над этим строится матрёшка:
последовательность
→ Coordinate(N,M,P)
→ NumericOperator следующего уровня
→ новая последовательность операторов
→ новая Coordinate
→ ...
Так что да: как математическое основание для координат, вариантов, классов и свёртки это правило точное, проверенное и достаточно строгое.