Nikita Tenetko, N.A. Tenetko

Доказательство рекурсивного операторного самоподобия Правила симметричных потоков Н.А. Тенетко дополнительно

Доказательство рекурсивного операторного самоподобия Правила симметричных потоков Н.А. Тенетко дополнительно LaTEX

Н.А. Тенетко

1. Исходное пространство

Обозначим множество десятичных цифр:

[ D_{10}={0,1,\ldots,9}. ]

Для каждого

[ n\ge1 ]

рассматривается класс всех десятичных последовательностей фиксированной длины:

[ \Omega_n=D_{10}^n. ]

Ведущие нули являются полноценной частью последовательности и не удаляются.

Для

[ X=d_1d_2\dots d_n ]

определяются две операции.

Зеркальное отражение:

[ R(X)=d_n\dots d_2d_1. ]

Десятичное дополнение:

[ C_{10}(X)=(9-d_1)(9-d_2)\dots(9-d_n). ]

Обе операции сохраняют длину последовательности.

2. Правило симметричных потоков

Симметричный партнёр определяется:

[ P_{10}(X)= \begin{cases} R(X), & X
eq R(X),\[4pt] C_{10}(X), & X=R(X). \end{cases} ]

Для базовых операторов выполняется:

[ R^2=I, \qquad C_{10}^2=I, ]

а также:

[ R(C_{10}(X))=C_{10}(R(X)). ]

У десятичного дополнения отсутствует неподвижная цифра, поскольку условие

[ d=9-d ]

потребовало бы:

[ 2d=9, ]

[ d=4.5, ]

что невозможно для

[ d\in D_{10}. ]

Следовательно:

[ C_{10}(X)
eq X ]

для любой десятичной последовательности.

Если (X
eq R(X)), то (P_{10}(X)=R(X)), и повторное отражение возвращает (X).

Если (X=R(X)), то (P_{10}(X)=C_{10}(X)). Из

[ R(C_{10}(X))

C_{10}(R(X))

C_{10}(X) ]

следует, что (C_{10}(X)) также является палиндромом, поэтому повторное применение (P_{10}) даёт:

[ P_{10}(C_{10}(X))

C_{10}(C_{10}(X))

X. ]

Таким образом:

[ P_{10}(P_{10}(X))=X ]

и:

[ P_{10}(X)
eq X. ]

Поэтому каждый класс (\Omega_n) полностью разбивается на непересекающиеся двухэлементные пары:

[ [X]={X,P_{10}(X)}. ]

Обозначим множество всех таких первичных пар:

[ \mathcal P_n

{[X]\colon X\in\Omega_n}. ]

Поскольку неподвижных точек нет:

[ |\mathcal P_n|

T_n

\frac{10^n}{2}

5\cdot10^{n-1}. ]

2.1. Операция конкатенации

Перед введением оператора внешней оболочки явно фиксируется операция построения последовательности.

Пусть:

[ X=d_1d_2\dots d_n\in\Omega_n, ]

а:

[ a,b\in D_{10}. ]

Цифры (a) и (b) рассматриваются как односимвольные десятичные последовательности.

Определим операцию конкатенации, то есть последовательного соединения символов, знаком:

[ \Vert. ]

Тогда:

[ a\Vert X\Vert b

ad_1d_2\dots d_nb. ]

Результат принадлежит классу длины (n+2):

[ a\Vert X\Vert b\in\Omega_{n+2}. ]

Например, если:

[ a=3, \qquad X=0417, \qquad b=8, ]

то:

[ 3\Vert0417\Vert8=304178. ]

Операция (\Vert) не является новым оператором симметрии и не изменяет Правило симметричных потоков. Она используется только как операция последовательного построения более длинной строки из внешних цифр и внутренней последовательности.

Содержательными операторами рассматриваемой системы остаются:

[ R, \qquad C_{10}, \qquad P_{10}. ]

Для краткости далее допускается обозначение:

[ aXb\equiv a\Vert X\Vert b. ]

Следовательно, запись (aXb) во всех последующих формулах означает исключительно конкатенацию и не подразумевает умножения, сложения или какого-либо дополнительного оператора.

3. Биективное расширение класса (n\rightarrow n+2)

Для:

[ a,b\in D_{10} ]

определим оператор внешней оболочки:

[ E_{a,b}(X)=a\Vert X\Vert b. ]

Все такие операторы образуют параметрическое семейство:

[ \mathcal E

{E_{a,b}\colon a,b\in D_{10}}. ]

Переход между целыми классами задаётся отображением:

[ \mathscr E_n: D_{10}\times\Omega_n\times D_{10} \longrightarrow \Omega_{n+2}, ]

[ \mathscr E_n(a,X,b)=a\Vert X\Vert b. ]

Лемма 1. (\mathscr E_n) является биекцией

Любая последовательность:

[ Y=y_1y_2\dots y_{n+2} ]

однозначно раскладывается как:

[ Y=a\Vert X\Vert b, ]

где:

[ a=y_1, ]

[ b=y_{n+2}, ]

а:

[ X=y_2\dots y_{n+1}. ]

Следовательно, у каждого (Y\in\Omega_{n+2}) существует ровно одна тройка:

[ (a,X,b). ]

Поэтому (\mathscr E_n) является биекцией.

Отсюда:

[ \Omega_{n+2}

\bigsqcup_{a,b\in D_{10}} E_{a,b}(\Omega_n), ]

где (\bigsqcup) обозначает непересекающееся объединение.

Для каждого внутреннего (X) существует ровно:

[ 10\cdot10=100 ]

оболочек.

Следовательно:

[ |\Omega_{n+2}|=100|\Omega_n|. ]

4. Сохранение формы операторов при расширении

Обозначим:

[ \overline a=9-a, \qquad \overline b=9-b. ]

Для отражения:

[ R(a\Vert X\Vert b)

b\Vert R(X)\Vert a. ]

Следовательно:

[ R\circ E_{a,b}

E_{b,a}\circ R. ]

Для дополнения:

[ C_{10}(a\Vert X\Vert b)

\overline a\Vert C_{10}(X)\Vert\overline b. ]

Следовательно:

[ C_{10}\circ E_{a,b}

E_{\overline a,\overline b}\circ C_{10}. ]

Таким образом, при переходе:

[ n\rightarrow n+2 ]

меняется размер объекта, но не изменяется принцип действия операторов ® и (C_{10}).

5. Рекурсивная форма самого (P_{10})

Пусть:

[ Y=a\Vert X\Vert b. ]

Последовательность (Y) является палиндромом тогда и только тогда, когда одновременно:

[ X=R(X) ]

и:

[ a=b. ]

Следовательно:

[ P_{10}(a\Vert X\Vert b)

\begin{cases} \overline a\Vert C_{10}(X)\Vert\overline a, & X=R(X),\ a=b,\[4pt] b\Vert R(X)\Vert a, & \text{во всех остальных случаях}. \end{cases} ]

Таким образом, при переходе:

[ n\rightarrow n+2 ]

сохраняется не только форма ® и (C_{10}), но и само ветвление Правила симметричных потоков.

6. Три состояния последовательности

Для описания типовых переходов вводятся три состояния.

Состояние A

[ A:\quad X=R(X). ]

Это палиндромное состояние.

По правилу (P_{10}) оно образует I-static пару:

[ X\leftrightarrow C_{10}(X). ]

Состояние B

[ B:\quad R(X)=C_{10}(X). ]

Это состояние R-static.

Состояние G

[ G:\quad X
eq R(X) \quad\text{и}\quad R(X)
eq C_{10}(X). ]

Это общее переходящее состояние.

7. Состояния A, B, G образуют полную непересекающуюся классификацию

Состояния A и B не могут выполняться одновременно.

Если:

[ X=R(X) ]

и:

[ R(X)=C_{10}(X), ]

то:

[ X=C_{10}(X), ]

что невозможно.

Следовательно:

[ A\cap B=\varnothing. ]

Любая последовательность либо удовлетворяет условию A, либо условию B, либо не удовлетворяет ни одному из них и принадлежит G.

Поэтому:

[ \Omega_n

\mathcal A_n \bigsqcup \mathcal B_n \bigsqcup \mathcal G_n. ]

8. Лемма об устойчивости состояний внутри (P_{10})-пары

Необходимо доказать, что оба элемента одной первичной пары принадлежат одному состоянию.

8.1. Состояние A

Пусть:

[ X=R(X). ]

Тогда:

[ P_{10}(X)=C_{10}(X). ]

Используя коммутативность:

[ R(C_{10}(X))

C_{10}(R(X))

C_{10}(X). ]

Следовательно:

[ X\in A \Longrightarrow C_{10}(X)\in A. ]

8.2. Состояние B

Пусть:

[ R(X)=C_{10}(X). ]

Обозначим:

[ Y=P_{10}(X)=R(X)=C_{10}(X). ]

Тогда:

[ R(Y)

R(C_{10}(X))

C_{10}(R(X))

C_{10}(C_{10}(X))

X. ]

Одновременно:

[ C_{10}(Y)

C_{10}(C_{10}(X))

X. ]

Следовательно:

[ R(Y)=C_{10}(Y). ]

То есть:

[ X\in B \Longrightarrow P_{10}(X)\in B. ]

8.3. Состояние G

Пусть:

[ X\in G. ]

Тогда:

[ P_{10}(X)=R(X). ]

Обозначим:

[ Y=R(X). ]

Если бы:

[ Y\in A, ]

то:

[ Y=R(Y) ]

дало бы:

[ R(X)=X, ]

что противоречит состоянию G.

Если бы:

[ Y\in B, ]

то:

[ R(Y)=C_{10}(Y). ]

Но:

[ R(Y)=X, ]

а:

[ C_{10}(Y)

C_{10}(R(X))

R(C_{10}(X)). ]

Следовательно:

[ X=R(C_{10}(X)). ]

Применяя (R), получаем:

[ R(X)=C_{10}(X), ]

что также противоречит G.

Поэтому:

[ X\in G \Longrightarrow R(X)\in G. ]

Итак, состояния A, B, G устойчивы внутри симметричных пар.

9. Действие оболочки на состояния

9.1. Переход из A

Пусть:

[ X=R(X). ]

Для:

[ Y=a\Vert X\Vert b ]

условие палиндромности:

[ Y=R(Y) ]

равносильно:

[ a\Vert X\Vert b

b\Vert X\Vert a. ]

Следовательно:

[ a=b. ]

Таких оболочек ровно 10.

Оставшиеся:

[ 100-10=90 ]

перестают принадлежать A.

В состояние B они перейти не могут, поскольку это потребовало бы:

[ R(X)=C_{10}(X), ]

что несовместимо с A.

Следовательно:

[ A\rightarrow10A+90G. ]

9.2. Переход из B

Пусть:

[ R(X)=C_{10}(X). ]

Для:

[ Y=a\Vert X\Vert b ]

условие:

[ R(Y)=C_{10}(Y) ]

даёт:

[ b\Vert R(X)\Vert a

\overline a\Vert C_{10}(X)\Vert\overline b. ]

Так как:

[ R(X)=C_{10}(X), ]

необходимо и достаточно:

[ b=\overline a=9-a. ]

Таких оболочек ровно 10.

Остальные 90 переходят в G.

Следовательно:

[ B\rightarrow10B+90G. ]

9.3. Переход из G

Пусть:

[ X\in G. ]

Если бы:

[ a\Vert X\Vert b\in A, ]

то внутреннее равенство потребовало бы:

[ X=R(X). ]

Если бы:

[ a\Vert X\Vert b\in B, ]

то потребовалось бы:

[ R(X)=C_{10}(X). ]

Оба случая противоречат определению G.

Следовательно:

[ G\rightarrow100G. ]

10. Конечный оператор состояний

Получена замкнутая система:

[ A\rightarrow10A+90G, ]

[ B\rightarrow10B+90G, ]

[ G\rightarrow100G. ]

Правило не зависит от (n).

11. Переход к пространству первичных пар

Чтобы не смешивать оператор отражения (R) и число R-static пар, обозначим:

[ I_n ]

— число I-static пар,

[ J_n ]

— число R-static пар,

[ Q_n ]

— число переходящих первичных пар.

Из устойчивости состояний внутри пары следует:

[ |\mathcal A_n|=2I_n, ]

[ |\mathcal B_n|=2J_n, ]

[ |\mathcal G_n|=2Q_n. ]

Полное число первичных пар:

[ T_n=I_n+J_n+Q_n. ]

12. Лемма об уникальном родителе каждой дочерней пары

Определим оператор удаления внешней оболочки:

[ D(a\Vert X\Vert b)=X. ]

Пусть:

[ [Y]={Y,P_{10}(Y)}\in\mathcal P_{n+2}. ]

Определим кандидата на родителя:

[ \Pi_n([Y])=[D(Y)]. ]

Необходимо доказать, что (\Pi_n) не зависит от выбора стороны пары ([Y]).

То есть требуется показать:

[ [D(Y)]

[D(P_{10}(Y))]. ]

Рассмотрим все случаи.

Случай 1. (X=R(X)) и (a=b)

Имеем:

[ Y=a\Vert X\Vert a. ]

Тогда:

[ P_{10}(Y)

\overline a\Vert C_{10}(X)\Vert\overline a. ]

После удаления оболочки:

[ D(Y)=X, ]

[ D(P_{10}(Y))=C_{10}(X). ]

Но:

[ [X]={X,C_{10}(X)}. ]

Следовательно:

[ [D(Y)]

[D(P_{10}(Y))]. ]

Случай 2. (X=R(X)) и (a
eq b)

Тогда:

[ P_{10}(Y)

b\Vert X\Vert a. ]

Следовательно:

[ D(Y)=X, ]

[ D(P_{10}(Y))=X. ]

Поэтому:

[ [D(Y)]

[D(P_{10}(Y))]. ]

Случай 3. (X
eq R(X))

Тогда:

[ P_{10}(a\Vert X\Vert b)

b\Vert R(X)\Vert a. ]

Следовательно:

[ D(Y)=X, ]

[ D(P_{10}(Y))=R(X). ]

Но для непалиндрома:

[ [X]={X,R(X)}. ]

Следовательно:

[ [D(Y)]

[D(P_{10}(Y))]. ]

Таким образом:

[ \Pi_n: \mathcal P_{n+2} \longrightarrow \mathcal P_n ]

корректно определён.

Каждая дочерняя первичная пара имеет ровно одного родителя.

Это исключает двойной подсчёт потомков разных родительских пар.

13. Каждая родительская пара имеет ровно 100 дочерних пар

У родительской пары имеются две последовательности, каждая из которых имеет по 100 оболочек.

Следовательно, получается:

[ 2\cdot100=200 ]

дочерних последовательностей.

Каждая дочерняя (P_{10})-пара содержит две последовательности.

Следовательно, потомство одной родительской пары содержит:

[ \frac{200}{2}=100 ]

первичных пар.

Лемма об уникальном родителе гарантирует, что дочерние множества различных родителей не пересекаются.

Таким образом:

[ |\Pi_n^{-1}(\pi)|=100 ]

для каждой:

[ \pi\in\mathcal P_n. ]

14. Потомки одной I-static пары

Пусть:

[ \pi_I

{X,C_{10}(X)}, \qquad X=R(X). ]

I-static потомки

Для каждой цифры (a) имеется пара:

[ \left{ a\Vert X\Vert a, ; \overline a\Vert C_{10}(X)\Vert\overline a \right}. ]

Таких значений (a) ровно 10.

Следовательно, 10 потомков остаются I-static.

Переходящие потомки

Для внутренности (X) оболочки:

[ a\Vert X\Vert b, \qquad a
eq b ]

образуют пары:

[ \left{ a\Vert X\Vert b, ; b\Vert X\Vert a \right}. ]

Из 90 таких последовательностей получается:

[ \frac{90}{2}=45 ]

переходящих пар с внутренностью (X).

Аналогично (C_{10}(X)) порождает ещё 45 переходящих пар.

Следовательно:

[ \pi_I\rightarrow10I+90Q. ]

15. Потомки одной R-static пары

Пусть:

[ \pi_J

{X,R(X)}

{X,C_{10}(X)}, ]

где:

[ R(X)=C_{10}(X). ]

Для каждой цифры (a):

[ b=\overline a ]

даёт R-static дочернюю пару:

[ \left{ a\Vert X\Vert\overline a, ; \overline a\Vert C_{10}(X)\Vert a \right}. ]

Таких пар ровно 10.

Оставшиеся 90 вариантов оболочки дают переходящие пары:

[ \left{ a\Vert X\Vert b, ; b\Vert C_{10}(X)\Vert a \right}, \qquad b
eq\overline a. ]

Следовательно:

[ \pi_J\rightarrow10J+90Q. ]

16. Потомки одной переходящей пары

Пусть:

[ \pi_Q={X,R(X)}, ]

где:

[ X\in G. ]

Для каждого:

[ (a,b)\in D_{10}^2 ]

получается дочерняя пара:

[ \pi_{a,b}

\left{ a\Vert X\Vert b, ; b\Vert R(X)\Vert a \right}. ]

Поскольку:

[ G\rightarrow100G, ]

все 100 дочерних пар являются переходящими.

Следовательно:

[ \pi_Q\rightarrow100Q. ]

17. Объектная подстановка первичных пар

Таким образом, доказано не только изменение количества объектов, но и непосредственное порождение самих типов пар:

[ I\rightarrow10I+90Q, ]

[ J\rightarrow10J+90Q, ]

[ Q\rightarrow100Q. ]

Каждая родительская пара порождает ровно 100 дочерних пар, а распределение типов потомков полностью определяется типом родителя.

18. Матричный оператор перехода

Из объектной подстановки непосредственно следует:

[ \begin{pmatrix} I_{n+2}\[2pt] J_{n+2}\[2pt] Q_{n+2} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 10&0&0\ 0&10&0\ 90&90&100 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_n\[2pt] J_n\[2pt] Q_n \end{pmatrix}. ]

Обозначим:

[ \mathcal M= \begin{pmatrix} 10&0&0
0&10&0
90&90&100 \end{pmatrix}. ]

Матрица (\mathcal M) не зависит от (n).

Следовательно, один и тот же конечный оператор преобразует типовую структуру любого класса (n) в структуру класса (n+2).

19. Две инвариантные по чётности рекурсивные линии

Поскольку переход имеет вид:

[ n\rightarrow n+2, ]

множество нечётных индексов и множество чётных индексов инвариантны относительно рекурсивного перехода.

Для:

[ n=1 ]

имеем:

[ (I_1,J_1,Q_1)=(5,0,0). ]

Это задаёт нечётную линию:

[ 1\rightarrow3\rightarrow5\rightarrow7\rightarrow\cdots. ]

Для:

[ n=2 ]

имеем:

[ (I_2,J_2,Q_2)=(5,5,40). ]

Это задаёт чётную линию:

[ 2\rightarrow4\rightarrow6\rightarrow8\rightarrow\cdots. ]

Обе линии управляются одним оператором (\mathcal M).

Поскольку:

[ J_1=0 ]

и:

[ J_{n+2}=10J_n, ]

получаем:

[ J_{2k+1}=0, \qquad k\ge0. ]

Поскольку:

[ I_2=J_2 ]

и обе координаты масштабируются одинаково:

[ I_{n+2}=10I_n, ]

[ J_{n+2}=10J_n, ]

следует:

[ I_{2k}=J_{2k}, \qquad k\ge1. ]

Различие чётной и нечётной линий определяется начальными условиями.

Оператор перехода остаётся одним и тем же.

20. Закон разреженной статичной симметрии

Определим число статичных пар:

[ S_n^{stat}=I_n+J_n. ]

Из матрицы:

[ S_{n+2}^{stat}

10I_n+10J_n. ]

Следовательно:

[ S_{n+2}^{stat}

10S_n^{stat}. ]

Полное число первичных пар:

[ T_n=I_n+J_n+Q_n. ]

Тогда:

[ T_{n+2}

10I_n+10J_n + 90I_n+90J_n+100Q_n, ]

поэтому:

[ T_{n+2}

100(I_n+J_n+Q_n). ]

Следовательно:

[ T_{n+2}=100T_n. ]

Определим:

[ \rho_n

\frac{S_n^{stat}}{T_n}. ]

Тогда:

[ \rho_{n+2}

\frac{10S_n^{stat}}{100T_n}. ]

Следовательно:

[ \rho_{n+2}

\frac{\rho_n}{10}. ]

Таким образом, Закон разреженной статичной симметрии является количественным следствием более общего объектного рекурсивного перехода.

21. Рекурсия переходящих пар

Из:

[ Q_{n+2}

90I_n+90J_n+100Q_n ]

и:

[ S_n^{stat}=I_n+J_n ]

следует:

[ Q_{n+2}

100Q_n+90S_n^{stat}. ]

Переходящая часть также подчиняется точному рекурсивному закону.

22. Эквивариантность (P_{10}) относительно дополнения

Для корректного перехода к мета-уровню необходимо показать:

[ P_{10}(C_{10}(X))

C_{10}(P_{10}(X)). ]

Если (X) является палиндромом

Пусть:

[ X=R(X). ]

Тогда:

[ R(C_{10}(X))

C_{10}(R(X))

C_{10}(X). ]

Следовательно, (C_{10}(X)) также является палиндромом.

Поэтому:

[ P_{10}(C_{10}(X))

C_{10}(C_{10}(X))

X. ]

Одновременно:

[ C_{10}(P_{10}(X))

C_{10}(C_{10}(X))

X. ]

Следовательно:

[ P_{10}(C_{10}(X))

C_{10}(P_{10}(X)). ]

Если (X) не является палиндромом

Тогда:

[ P_{10}(X)=R(X). ]

Дополнение (C_{10}(X)) также не является палиндромом.

Иначе:

[ C_{10}(X)

R(C_{10}(X))

C_{10}(R(X)), ]

и после применения (C_{10}) получилось бы:

[ X=R(X), ]

что противоречит предположению.

Поэтому:

[ P_{10}(C_{10}(X))

R(C_{10}(X)). ]

Из коммутативности:

[ R(C_{10}(X))

C_{10}(R(X)). ]

Следовательно:

[ P_{10}(C_{10}(X))

C_{10}(P_{10}(X)). ]

Таким образом:

[ P_{10}\circ C_{10}

C_{10}\circ P_{10}. ]

23. Дополнение как оператор на пространстве первичных пар

Благодаря предыдущей лемме дополнение корректно индуцирует оператор:

[ \mathcal C_n: \mathcal P_n \longrightarrow \mathcal P_n ]

по правилу:

[ \mathcal C_n([X])

[C_{10}(X)]. ]

Действительно:

[ \mathcal C_n \bigl( {X,P_{10}(X)} \bigr)

{ C_{10}(X), C_{10}(P_{10}(X)) }, ]

а:

[ C_{10}(P_{10}(X))

P_{10}(C_{10}(X)). ]

Поэтому:

[ \mathcal C_n([X])

{ C_{10}(X), P_{10}(C_{10}(X)) }. ]

Кроме того:

[ \mathcal C_n^2

\operatorname{id}_{\mathcal P_n}. ]

24. Неподвижные точки (\mathcal C_n)

Рассмотрим условие:

[ \mathcal C_n([X])=[X]. ]

Это означает, что (C_{10}(X)) совпадает либо с (X), либо с (P_{10}(X)).

Первый случай:

[ C_{10}(X)=X ]

невозможен.

Следовательно:

[ C_{10}(X)=P_{10}(X). ]

Если (X) является палиндромом, то:

[ P_{10}(X)=C_{10}(X), ]

и получается I-static пара.

Если (X) не является палиндромом, то:

[ P_{10}(X)=R(X), ]

поэтому:

[ C_{10}(X)=R(X), ]

то есть получается R-static пара.

Следовательно:

[ \operatorname{Fix}(\mathcal C_n)

{ \pi\in\mathcal P_n: \pi\text{ является I-static или R-static парой} }. ]

То есть неподвижными объектами дополнения на пространстве первичных пар являются ровно статичные пары.

25. Мета-пары

Все первичные пары, не являющиеся неподвижными относительно (\mathcal C_n), образуют двухэлементные орбиты:

[ {\pi,\mathcal C_n(\pi)}. ]

Именно эти двухэлементные орбиты называются мета-парами.

Поскольку переходящих пар:

[ Q_n, ]

а (\mathcal C_n) является инволюцией без неподвижных точек на переходящей части:

[ M_n=\frac{Q_n}{2}. ]

25.1. Согласованность дополнения с родительской проекцией

Перед переходом к рекурсии мета-уровня необходимо установить согласованность оператора дополнения на пространстве первичных пар с оператором родительской проекции.

Напомним:

[ \Pi_n: \mathcal P_{n+2} \longrightarrow \mathcal P_n ]

— оператор, сопоставляющий каждой дочерней первичной паре её единственного родителя, а

[ \mathcal C_n: \mathcal P_n \longrightarrow \mathcal P_n ]

— оператор дополнения на пространстве первичных пар:

[ \mathcal C_n([X])

[C_{10}(X)]. ]

Лемма

Для любого (n\ge1) выполняется:

[ \boxed{ \Pi_n\circ\mathcal C_{n+2}

\mathcal C_n\circ\Pi_n } ]

то есть дополнение коммутирует с переходом к родительской паре.

Доказательство

Пусть:

[ [Y]\in\mathcal P_{n+2}. ]

По биективному разложению последовательность (Y) однозначно представляется в виде:

[ Y=a\Vert X\Vert b, ]

где:

[ a,b\in D_{10}, \qquad X\in\Omega_n. ]

По определению родительской проекции:

[ \Pi_n([Y])=[X]. ]

Применим десятичное дополнение к (Y):

[ C_{10}(Y)

C_{10}(a\Vert X\Vert b). ]

Из сохранения формы дополнения при действии внешней оболочки:

[ C_{10}(a\Vert X\Vert b)

\overline a \Vert C_{10}(X) \Vert \overline b, ]

где:

[ \overline a=9-a, \qquad \overline b=9-b. ]

После удаления внешней оболочки получаем:

[ D(C_{10}(Y))

C_{10}(X). ]

Следовательно:

[ \Pi_n(\mathcal C_{n+2}([Y]))

[C_{10}(X)]. ]

С другой стороны:

[ \mathcal C_n(\Pi_n([Y]))

\mathcal C_n([X])

[C_{10}(X)]. ]

Поэтому:

[ \Pi_n(\mathcal C_{n+2}([Y]))

\mathcal C_n(\Pi_n([Y])). ]

Так как ([Y]) было произвольным:

[ \boxed{ \Pi_n\circ\mathcal C_{n+2}

\mathcal C_n\circ\Pi_n }. ]

Лемма доказана.

Следствие 1. Дополнение переводит дочерний слой родителя в дочерний слой дополненного родителя

Для любой первичной пары:

[ \pi\in\mathcal P_n ]

имеем:

[ \boxed{ \mathcal C_{n+2} \bigl( \Pi_n^{-1}(\pi) \bigr)

\Pi_n^{-1} \bigl( \mathcal C_n(\pi) \bigr) }. ]

Действительно, если:

[ \sigma\in\Pi_n^{-1}(\pi), ]

то:

[ \Pi_n(\sigma)=\pi. ]

По доказанной лемме:

[ \Pi_n(\mathcal C_{n+2}(\sigma))

\mathcal C_n(\Pi_n(\sigma))

\mathcal C_n(\pi). ]

Следовательно:

[ \mathcal C_{n+2}(\sigma) \in \Pi_n^{-1} \bigl( \mathcal C_n(\pi) \bigr). ]

Поскольку (\mathcal C_{n+2}) является инволюцией, соответствие является взаимно однозначным.

Следствие 2. Дочерний слой статичной пары замкнут относительно дополнения

Если первичная пара (\pi) является статичной, то:

[ \mathcal C_n(\pi)=\pi. ]

Поэтому:

[ \mathcal C_{n+2} \bigl( \Pi_n^{-1}(\pi) \bigr)

\Pi_n^{-1}(\pi). ]

Следовательно, весь дочерний слой статичной пары переводится дополнением в самого себя.

В частности, 90 переходящих потомков одной статичной пары образуют множество, замкнутое относительно (\mathcal C_{n+2}).

Так как среди переходящих первичных пар нет неподвижных точек (\mathcal C_{n+2}), эти 90 объектов разбиваются на:

[ \frac{90}{2}=45 ]

двухэлементных орбит, то есть мета-пар.

Тем самым переход:

[ \pi_{\mathrm{stat}} \rightarrow 45M ]

непосредственно следует из согласованности дополнения с родительской проекцией.

Следствие 3. Дополнение взаимно однозначно связывает потомков двух сторон мета-пары

Пусть:

[ \mu

{\pi,\mathcal C_n(\pi)} ]

— мета-пара класса (n).

Тогда:

[ \mathcal C_{n+2} \bigl( \Pi_n^{-1}(\pi) \bigr)

\Pi_n^{-1} \bigl( \mathcal C_n(\pi) \bigr). ]

Следовательно, дополнение устанавливает взаимно однозначное соответствие между 100 дочерними первичными парами (\pi) и 100 дочерними первичными парами (\mathcal C_n(\pi)).

Поэтому 200 дочерних первичных пар двух сторон старой мета-пары объединяются попарно в:

[ \frac{200}{2}=100 ]

мета-пар.

Таким образом:

[ \mu\rightarrow100M. ]

Итог

Согласованность:

[ \boxed{ \Pi_n\circ\mathcal C_{n+2}

\mathcal C_n\circ\Pi_n } ]

связывает рекурсию первичных пар с рекурсией мета-пар.

Она показывает, что дополнение не нарушает родительскую структуру при переходе:

[ n\rightarrow n+2, ]

а действует согласованно на каждом уровне:

[ \mathcal P_{n+2} \xrightarrow{\Pi_n} \mathcal P_n. ]

Поэтому мета-пары не вводятся как независимая дополнительная конструкция: их рекурсивное воспроизведение непосредственно следует из уже определённых операторов (\mathcal C_n), (\Pi_n) и объектной рекурсии первичных пар.

26. Мета-потомки одной статичной пары

Пусть:

[ \pi_{\mathrm{stat}} ]

— I-static или R-static родительская пара.

Она является неподвижной относительно (\mathcal C_n).

Из объектной подстановки каждая такая пара порождает 90 переходящих дочерних пар.

Дополнение переводит множество этих 90 потомков в себя.

Среди них нет неподвижной переходящей пары, поскольку неподвижность относительно (\mathcal C_{n+2}) означала бы статичность.

Поэтому 90 переходящих потомков разбиваются на:

[ \frac{90}{2}=45 ]

мета-пар.

Следовательно:

[ \pi_{\mathrm{stat}} \rightarrow 45M. ]

27. Потомки одной старой мета-пары

Пусть:

[ \mu

{\pi,\mathcal C_n(\pi)} ]

— мета-пара класса (n).

Первая переходящая первичная пара (\pi) порождает 100 переходящих дочерних пар.

Вторая сторона:

[ \mathcal C_n(\pi) ]

также порождает 100 переходящих дочерних пар.

Всего получается:

[ 200 ]

переходящих первичных пар.

Если потомок первой стороны строится оболочкой:

[ E_{a,b}, ]

то дополнение переводит его в потомка второй стороны с оболочкой:

[ E_{\overline a,\overline b}. ]

Таким образом, между двумя сотнями потомков существует взаимно однозначное соответствие по (\mathcal C_{n+2}).

Следовательно, 200 переходящих пар объединяются в 100 мета-пар.

Поэтому:

[ \mu\rightarrow100M. ]

28. Рекурсия мета-уровня

Каждая из (M_n) старых мета-пар порождает:

[ 100M_n ]

мета-пар.

Каждая из (S_n^{stat}) статичных первичных пар дополнительно порождает:

[ 45S_n^{stat} ]

мета-пар.

Следовательно:

[ M_{n+2}

100M_n+45S_n^{stat}. ]

Тот же результат получается арифметически.

Поскольку:

[ M_n=\frac{Q_n}{2} ]

и:

[ Q_{n+2}

100Q_n+90S_n^{stat}, ]

то:

[ M_{n+2}

\frac{ 100Q_n+90S_n^{stat} }{2}. ]

Следовательно:

[ M_{n+2}

100M_n+45S_n^{stat}. ]

Структурный и арифметический выводы совпадают.

29. Замкнутая многоуровневая рекурсия

Получены три связанных уровня.

Уровень последовательностей

[ A\rightarrow10A+90G, ]

[ B\rightarrow10B+90G, ]

[ G\rightarrow100G. ]

Уровень первичных пар

[ I\rightarrow10I+90Q, ]

[ J\rightarrow10J+90Q, ]

[ Q\rightarrow100Q. ]

Уровень мета-пар

[ \pi_{\mathrm{stat}} \rightarrow 45M, ]

[ M\rightarrow100M. ]

Таким образом, воспроизводятся не только количества объектов, но и сами типы объектов, отношения между ними и правила перехода к следующему масштабу.

30. Теорема рекурсивного операторного самоподобия

Теорема.

Для Правила симметричных потоков (P_{10}), действующего на пространствах десятичных последовательностей фиксированной длины, переход:

[ n\rightarrow n+2 ]

обладает следующими свойствами.

1. Биективное расширение пространства

[ \mathscr E_n: D_{10}\times\Omega_n\times D_{10} \overset{\sim}{\longrightarrow} \Omega_{n+2}, ]

где:

[ \mathscr E_n(a,X,b)

a\Vert X\Vert b. ]

2. Сохраняется форма базовых операторов

[ R\circ E_{a,b}

E_{b,a}\circ R, ]

[ C_{10}\circ E_{a,b}

E_{\overline a,\overline b}\circ C_{10}. ]

3. Сохраняется ветвление (P_{10})

Правило определения партнёра после расширения имеет ту же структуру выбора между отражением и дополнением.

4. Сохраняется конечная система типов

[ A, \qquad B, \qquad G ]

с одним и тем же переходом:

[ A\rightarrow10A+90G, ]

[ B\rightarrow10B+90G, ]

[ G\rightarrow100G. ]

5. Каждая первичная пара имеет единственного родителя

Существует корректно определённая проекция:

[ \Pi_n: \mathcal P_{n+2} \longrightarrow \mathcal P_n, ]

и:

[ |\Pi_n^{-1}(\pi)|=100 ]

для каждой родительской пары (\pi).

6. Типы пар воспроизводятся одной объектной подстановкой

[ I\rightarrow10I+90Q, ]

[ J\rightarrow10J+90Q, ]

[ Q\rightarrow100Q. ]

Эквивалентно:

[ \begin{pmatrix} I_{n+2}\[2pt] J_{n+2}\[2pt] Q_{n+2} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 10&0&0\ 0&10&0\ 90&90&100 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_n\[2pt] J_n\[2pt] Q_n \end{pmatrix}. ]

7. Дополнение корректно действует на пространстве пар и согласовано с родительской проекцией

[ P_{10}\circ C_{10}

C_{10}\circ P_{10}. ]

Поэтому:

[ \mathcal C_n([X])

[C_{10}(X)] ]

является корректно определённой инволюцией на (\mathcal P_n).

Её неподвижные точки — ровно статичные пары:

[ \operatorname{Fix}(\mathcal C_n)

{ \pi\in\mathcal P_n: \pi\text{ является I-static или R-static парой} }. ]

Её двухэлементные орбиты на переходящей части являются мета-парами.

Кроме того:

[ \boxed{ \Pi_n\circ\mathcal C_{n+2}

\mathcal C_n\circ\Pi_n }. ]

Следовательно, дополнение согласовано с родительской проекцией при каждом переходе:

[ n\rightarrow n+2. ]

8. Мета-уровень также воспроизводится рекурсивно

[ M_{n+2}

100M_n+45S_n^{stat}. ]

31. Основной вывод

При переходе:

[ n\rightarrow n+2 ]

каждая первичная пара имеет:

Чётная и нечётная линии:

[ 1\rightarrow3\rightarrow5\rightarrow7\rightarrow\cdots ]

и:

[ 2\rightarrow4\rightarrow6\rightarrow8\rightarrow\cdots ]

имеют разные начальные состояния, но управляются одним и тем же оператором перехода.

Следовательно, различие чётных и нечётных классов не нарушает рекурсию.

Оно представляет собой различие начальных условий двух инвариантных по чётности линий.

32. Закон разреженной статичной симметрии как проекция самоподобия

Из объектной рекурсии непосредственно следуют:

[ S_{n+2}^{stat}

10S_n^{stat}, ]

[ T_{n+2}

100T_n, ]

[ \rho_{n+2}

\frac{\rho_n}{10}. ]

Причина коэффициентов имеет структурное объяснение.

Каждый внутренний объект имеет 100 возможных двухцифровых оболочек.

Статичное состояние сохраняют только 10 из них.

Для состояния A:

[ a=b. ]

Для состояния B:

[ b=9-a. ]

Следовательно:

[ \text{пространство}\times100, ]

[ \text{статичная структура}\times10, ]

[ \text{её относительная плотность}\div10. ]

Таким образом, Закон разреженной статичной симметрии является количественной проекцией более общей рекурсивной объектной структуры.

33. Статус результата

Настоящее доказательство не основывается на конечном переборе классов.

Оно выводит рекурсивные отношения для произвольного:

[ n\ge1. ]

Экспериментальный полный перебор конечного диапазона классов выполняет другую функцию: проверяет соответствие конкретной инженерной реализации математически определённому правилу.

Поэтому необходимо различать:

математическое доказательство

и:

инженерную валидацию реализации.

Полученный результат устанавливает рекурсивное операторное самоподобие Правила симметричных потоков в точном смысле:

При каждом переходе (n\rightarrow n+2) пространство расширяется единым параметрическим семейством операторов внешней оболочки, построенным посредством конкатенации; операции ®, (C_{10}) и ветвление (P_{10}) сохраняют свою форму; каждая первичная структура имеет единственного родителя и фиксированное число потомков; типы потомков определяются одним неизменным конечным правилом; дополнение согласовано с родительской проекцией; отношения между первичными парами воспроизводятся на мета-уровне.

Термин «фрактальное самоподобие» может быть введён отдельно после определения в общей системе объекта подобия, масштаба и меры подобия.

Доказанное здесь рекурсивное операторное самоподобие является математическим основанием для такого дальнейшего расширения.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ ПРОТОКОЛ РЕКУРСИВНОГО ОПЕРАТОРНОГО САМОПОДОБИЯ

Правило симметричных потоков (P_{10}) · десятичные классы · Н.А. Тенетко

[1] ИДЕНТИФИКАЦИЯ

started_at_utc=2026-08-18T23:52:34.457Z
completed_at_utc=2026-08-18T23:52:38.382Z
elapsed_ms=3924.572

node=v24.19.0
platform=darwin
arch=arm64

command=node tests/decimal-symmetric-flows-recursive-theorem.js --parent-max=4
mode=exhaustive-object-fibers
randomness=none

parent_classes=1…4
child_classes=3…6

rss_before_bytes=48234496
rss_after_bytes=359464960

[2] ХЕШИ

plugin_sha256=820e0f3ae9bbdd9292453b5b9854959fdffe84519b925ad59f53028705d50049

experiment_script_sha256=9a69aff67e992bd7178115be447bd7f4a7e22c809f44ceaabbb7cc9cd98b7a54

evidence_schema=decimal-recursive-operator-self-similarity-evidence/1

evidence_sha256=2765105eaad136e14d789e97935a79e0eafdf40320a57318aa65f7da185c9859

[3] НЕПОСРЕДСТВЕННО ПРОВЕРЯЕМЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

R(aXb)=bR(X)a

C(aXb)=(9-a)C(X)(9-b)

P10(aXb) совпадает с рекурсивной ветвью A/B/G

родитель, полученный с обеих сторон дочерней пары, одинаков

каждый родитель имеет ровно 100 различных дочерних пар

I -> 10I + 90Q
J -> 10J + 90Q
Q -> 100Q

дочерние слои разных родителей не пересекаются

дополнение согласовано с родительской проекцией

static -> 45 новых meta
старая meta -> 100 новых meta

готовые формулы не используются для получения наблюдаемых потомков

[4] КОНКРЕТНЫЕ ОБОЛОЧКИ

case=I-preserved X=0 shell=(3,3) Y=303 P10(Y)=696 parent=1:0<->9 state=A->A checks=PASS

case=I-to-Q X=0 shell=(1,2) Y=102 P10(Y)=201 parent=1:0<->9 state=A->G checks=PASS

case=J-preserved X=09 shell=(3,6) Y=3096 P10(Y)=6903 parent=2:09<->90 state=B->B checks=PASS

case=J-to-Q X=09 shell=(1,1) Y=1091 P10(Y)=1901 parent=2:09<->90 state=B->G checks=PASS

case=Q-preserved X=12 shell=(7,1) Y=7121 P10(Y)=1217 parent=2:12<->21 state=G->G checks=PASS

[5] ПОЛНЫЕ ОБЪЕКТНЫЕ ДАННЫЕ ПО ПЕРЕХОДАМ (n\rightarrow n+2)

transition=1->3

elapsed_ms=5.261

parent_pairs=5
parent_I=5
parent_J=0
parent_Q=0

shell_sequences_checked=1000

unique_child_pairs=500
child_I=50
child_J=0
child_Q=450

from_I: I=50 J=0 Q=450
from_J: I=0 J=0 Q=0
from_Q: I=0 J=0 Q=0

old_meta_pairs=0
static_generated_meta=225
inherited_meta=0
recursive_meta_total=225
child_meta_pairs=225

failures={"reflectionForm":0,"complementForm":0,"partnerForm":0,"stateTransition":0,"complementEquivariance":0,"parentFromSource":0,"parentFromPartner":0,"childOwnerCollision":0,"fiberSize":0,"fiberType":0,"coverage":0,"staticMetaClosure":0,"transitionMetaClosure":0,"naturality":0}

transition_result=PASS

transition=2->4

elapsed_ms=32.220

parent_pairs=50
parent_I=5
parent_J=5
parent_Q=40

shell_sequences_checked=10000

unique_child_pairs=5000
child_I=50
child_J=50
child_Q=4900

from_I: I=50 J=0 Q=450
from_J: I=0 J=50 Q=450
from_Q: I=0 J=0 Q=4000

old_meta_pairs=20
static_generated_meta=450
inherited_meta=2000
recursive_meta_total=2450
child_meta_pairs=2450

failures={"reflectionForm":0,"complementForm":0,"partnerForm":0,"stateTransition":0,"complementEquivariance":0,"parentFromSource":0,"parentFromPartner":0,"childOwnerCollision":0,"fiberSize":0,"fiberType":0,"coverage":0,"staticMetaClosure":0,"transitionMetaClosure":0,"naturality":0}

transition_result=PASS

transition=3->5

elapsed_ms=322.326

parent_pairs=500
parent_I=50
parent_J=0
parent_Q=450

shell_sequences_checked=100000

unique_child_pairs=50000
child_I=500
child_J=0
child_Q=49500

from_I: I=500 J=0 Q=4500
from_J: I=0 J=0 Q=0
from_Q: I=0 J=0 Q=45000

old_meta_pairs=225
static_generated_meta=2250
inherited_meta=22500
recursive_meta_total=24750
child_meta_pairs=24750

failures={"reflectionForm":0,"complementForm":0,"partnerForm":0,"stateTransition":0,"complementEquivariance":0,"parentFromSource":0,"parentFromPartner":0,"childOwnerCollision":0,"fiberSize":0,"fiberType":0,"coverage":0,"staticMetaClosure":0,"transitionMetaClosure":0,"naturality":0}

transition_result=PASS

transition=4->6

elapsed_ms=3564.553

parent_pairs=5000
parent_I=50
parent_J=50
parent_Q=4900

shell_sequences_checked=1000000

unique_child_pairs=500000
child_I=500
child_J=500
child_Q=499000

from_I: I=500 J=0 Q=4500
from_J: I=0 J=500 Q=4500
from_Q: I=0 J=0 Q=490000

old_meta_pairs=2450
static_generated_meta=4500
inherited_meta=245000
recursive_meta_total=249500
child_meta_pairs=249500

failures={"reflectionForm":0,"complementForm":0,"partnerForm":0,"stateTransition":0,"complementEquivariance":0,"parentFromSource":0,"parentFromPartner":0,"childOwnerCollision":0,"fiberSize":0,"fiberType":0,"coverage":0,"staticMetaClosure":0,"transitionMetaClosure":0,"naturality":0}

transition_result=PASS

[6] ГЛОБАЛЬНЫЕ СЧЁТЧИКИ

shell_sequences_checked=1111000

parent_pairs_checked=5555

unique_child_pairs_checked=555500

reflectionForm_failures=0
complementForm_failures=0
partnerForm_failures=0
stateTransition_failures=0
complementEquivariance_failures=0
parentFromSource_failures=0
parentFromPartner_failures=0
childOwnerCollision_failures=0
fiberSize_failures=0
fiberType_failures=0
coverage_failures=0
staticMetaClosure_failures=0
transitionMetaClosure_failures=0
naturality_failures=0

failed_checks=0

[7] ИТОГ

result=PASS

conclusion=Объектная рекурсия n->n+2 экспериментально подтверждена полным построением всех родительских слоёв для n=1…4.

scope=Математическая теорема действует для всех n>=1; эксперимент проверяет реализацию на явно указанном конечном диапазоне.

evidence_sha256=2765105eaad136e14d789e97935a79e0eafdf40320a57318aa65f7da185c9859

Рекурсивная концепция:

[ n\rightarrow n+2 ]

реализована внутри плагина как отдельный вычислительный слой, не изменяющий исходное (P_{10}).

Добавлены:

Результаты нового объектного теста

Полностью построены все родительские слои для:

[ 1\rightarrow3, \qquad 2\rightarrow4, \qquad 3\rightarrow5, \qquad 4\rightarrow6. ]

Проверено:

Например, переход:

[ 4\rightarrow6 ]

родители: I=50, J=50, Q=4900

потомки: I=500, J=500, Q=499000

из I: 500 I + 4500 Q
из J: 500 J + 4500 Q
из Q: 490000 Q

Мета-уровень:

старых мета-пар:            2450
мета-пар от старых статик:  4500
мета-пар от старых мета:    245000
всего рекурсивно:            249500
непосредственно в классе 6: 249500

Совпадение точное.

Регрессионная проверка исходного правила

После расширения повторно перебраны классы:

[ n=1,\ldots,8. ]

обработано последовательностей: 111 111 110
ошибки инволюции:               0
неподвижные точки:              0
ошибки R(C(X))=C(R(X)):         0
расхождения агрегатов:          0
локальный ChangeSet:            PASS
общий результат:                PASS

Прежний evidence-хеш остался тем же:

9bc5c52271da19ba2086866bec132951e8e10134e4f8852049328f454a0684c0

Это подтверждает, что рекурсивный слой не изменил исходную математику (P_{10}).

Итог: программная реализация согласуется с теоремой на полном объектном диапазоне:

[ n=1,\ldots,4, ]

и с прежними агрегатами на полном диапазоне:

[ n=1,\ldots,8. ]

Теорема относится ко всем:

[ n\ge1; ]

тест подтверждает корректность её инженерной реализации в явно указанном конечном диапазоне.