Правило симметричных потоков Н.А. Тенетко
Правило симметричных потоков Н.А. Тенетко
исправлено и дополнено LaTEX
Н.А. Тенетко
Правило
Для бинарной последовательности (X) длины (n\ge1) партнёр (P(X)) определяется как:
[
P(X)=
\begin{cases}
R(X), & X
eq R(X),
[4pt]
I(X), & X=R(X),
\end{cases}
]
где:
- (R(X)) — зеркальное отражение (reverse),
- (I(X)) — побитовая инверсия (invert).
Свойства
- Инволютивность:
[ P(P(X))=X. ]
- Отсутствие неподвижных точек:
[
P(X)
eq X.
]
- Полное разбиение: множество
[ {0,1}^n ]
разбивается на
[ 2^{n-1} ]
непересекающихся пар.
Примеры
(n=3) (4 пары):
[ 000\leftrightarrow111, \qquad 001\leftrightarrow100, \qquad 010\leftrightarrow101, \qquad 110\leftrightarrow011. ]
(n=4) (8 пар):
[ 0000\leftrightarrow1111, \qquad 0001\leftrightarrow1000, \qquad 0010\leftrightarrow0100, \qquad 0011\leftrightarrow1100, ]
[ 0101\leftrightarrow1010, \qquad 1001\leftrightarrow0110, \qquad 1011\leftrightarrow1101, \qquad 0111\leftrightarrow1110. ]
Комбинаторная структура
- Общее число пар:
[ 2^{n-1}. ]
- Число статичных пар (неподвижных относительно инверсии на уровне пары):
[ S(n)=2^{\lfloor n/2\rfloor}. ]
- Число переходящих R-пар (при инверсии переходят в другую R-пару):
[ 2{n-1}-2{\lfloor n/2\rfloor}. ]
- Число мета-пар (пар из двух переходящих R-пар):
[ \frac{2{n-1}-2{\lfloor n/2\rfloor}}{2}. ]
- Для соседних длин:
[ S(2k)=S(2k+1)=2^k. ]
Второй уровень
Для первичной пары
[ \pi={X,P(X)} ]
операция инверсии определяется как:
[ I(\pi)={I(X),I(P(X))}. ]
- I-static (палиндромы, соединённые инверсией) и R-static (непалиндромы, соединённые отражением, но неподвижные при инверсии пары) не образуют мета-пар и остаются на месте.
- Переходящие R-пары при инверсии переходят в другую R-пару, образуя мета-пару.
Граница операции:
[ I\bigl({\pi,I(\pi)}\bigr)
{\pi,I(\pi)}. ]
Повторное применение инверсии на этом уровне не создаёт нового объекта.