Математическая формализация многоуровневой системы операторов и отношений Н.А. Тенетко
Математическая формализация многоуровневой системы операторов и отношений LaTEX
Н.А. Тенетко
1. Предмет формализации
Система строится не как единственная последовательная свёртка, а как рекурсивное пространство мер:
исходные меры
→ множество отношений между мерами
→ меры отношений
→ множество отношений между мерами отношений
→ меры следующего уровня
→ ...
На каждом уровне сохраняются:
мера;
её точная координата;
класс;
позиция варианта;
уровень;
правило обратного раскрытия;
координата проявления в исходном пространстве.
Одновременно из одного потока может быть получено несколько вложенных или пересекающихся свёрток. Они образуют многомерный слой отношений, а не одну заменяющую поток свёртку.
2. Локальное операторное пространство
Пусть на некотором уровне имеется конечный упорядоченный алфавит
[ \Sigma=(a_0,a_1,\ldots,a_{N-1}) ]
размера
[ |\Sigma|=N. ]
Каждому оператору соответствует единственный ранг:
[
\rho(a_j)=j,
\qquad
0\le j Алфавит не обязан существовать как физически сохранённый список. Достаточно, чтобы были однозначно определены: Следовательно, пространство может быть огромным и раскрываться только локально. Это соответствует уже зафиксированной архитектуре Пусть последовательность текущего уровня имеет длину (M): [
W=x_0x_1\dots x_{M-1},
\qquad
x_i\in\Sigma.
] Тогда [
M=\operatorname{class}(W).
] Количество возможных вариантов этого класса: [
N^M.
] Таким образом: [
\boxed{
\text{размер алфавита }N
\quad+\quad
\text{class }M
\quad\Rightarrow\quad
N^M\text{ вариантов}
}.
] Для последовательности [
W=x_0x_1\dots x_{M-1}
] определяется: 1+
\sum_{i=0}^{M-1}
\rho(x_i)N^{M-1-i}
}.
] где: [
1\le P\le N^M.
] Позиция начинается с единицы. Для обратного преобразования: [
Q=P-1
] и [
\boxed{
r_i=
\left\lfloor
\frac{Q}{N^{M-1-i}}
\right\rfloor
\bmod N
}.
] после чего: [
x_i=\rho^{-1}(r_i).
] Для фиксированных: [
\Sigma,\quad N,\quad M
] соответствие [
W\longleftrightarrow P(W)
] является взаимно однозначным. Последовательность рангов [
\rho(x_0),\rho(x_1),\ldots,\rho(x_{M-1})
] является единственной позиционной записью числа (P-1) в основании (N) с длиной (M). Следовательно: Следовательно: [
\boxed{
W\leftrightarrow(\Sigma,M,P)
}
] обратимо. Используются: [
A=10,
\qquad
B=01,
\qquad
C=00,
\qquad
D=11.
] Для сохранения бинарного позиционного порядка: [
\rho©=0,
] [
\rho(B)=1,
] [
\rho(A)=2,
] [
\rho(D)=3.
] То есть: [
\Sigma_0=(C,B,A,D),
\qquad
N_0=4.
] Для: [
DCBDCB
] имеем ранги: [
3,0,1,3,0,1.
] Поэтому: [
P=
1+
3\cdot4^5+
0\cdot4^4+
1\cdot4^3+
3\cdot4^2+
0\cdot4+
1.
] Получаем: [
\boxed{P=3186}.
] Следовательно: [
\boxed{
DCBDCB
\leftrightarrow
(6,3186)
}.
] Аналогично: [
CB\leftrightarrow(2,2),
] [
BD\leftrightarrow(2,8),
] [
DC\leftrightarrow(2,13).
] Для фиксированного текущего алфавита (\Sigma_k) и фиксированного класса (M) все варианты [
\Sigma_k^M
] автоматически получают позиции: [
1,2,\ldots,N_k^M.
] Каждый вариант вместе со своей координатой становится оператором следующего уровня. То есть: [
W
\rightarrow
(M,P)
\rightarrow
\operatorname{Operator}_{k+1}(M,P).
] Таким образом, новый алфавит не назначается вручную. Он задаётся: Его не требуется перечислять. Если на одном уровне допускаются различные классы: [
M=1,2,3,\ldots
] то каждый класс создаёт собственное локальное пространство вариантов: [
\Sigma_k^1,
\quad
\Sigma_k^2,
\quad
\Sigma_k^3,
\ldots
] Поэтому математически уровень представляет собой семейство локальных операторных пространств, а не обязательно один материализованный глобальный массив. Это соответствует уже существующей полной координате: Для любой меры (X) текущего уровня: [
\underbrace{X|X|\dots|X}_{K\text{ раз}}
] формируется мера: [
\boxed{X(K)}
] где: [
K\ge2.
] Пример: [
A|A|A
\leftrightarrow
A(3).
] Это точная запись непосредственного повторения. Определим раскрытие: \underbrace{X|X|\dots|X}_{K}.
] Поскольку запись содержит: раскрытие единственно. Следовательно: [
\boxed{
X(K)\text{ обратим}
}.
] Если (X) имеет собственную вложенную координату, она сохраняется целиком. Например: [
A.6,3186(3)
] означает: [
A.6,3186
;|;
A.6,3186
;|;
A.6,3186.
] Пусть: [
X|U|X
] где внутренняя последовательность: [
U=u_0|u_1|\dots|u_{M-1}
] имеет: [
\operatorname{class}(U)=M.
] Если: [
P=P(U),
] то отношение записывается: [
\boxed{X.M,P}.
] То есть: [
\boxed{
X.M,P
\leftrightarrow
X|U_{M,P}|X
}
] где (U_{M,P}) — единственная последовательность, определяемая Имеется: [
A|D|C|B|D|C|B|A.
] Относительно (A): [
U=DCBDCB.
] Уже установлено: [
U\leftrightarrow(6,3186).
] Следовательно: [
\boxed{
A[DCBDCB]A
\leftrightarrow
A.6,3186
}
] и обратное раскрытие единственно. Чтобы два типа не конфликтовали: [
X(K)
] используется для непосредственной непрерывной серии одинаковых мер. А: [
X.M,P
] используется, когда между двумя проявлениями (X) существует внутренняя область другого содержания. То есть [
M\ge1.
] Например: [
AAA\rightarrow A(3),
] а: [
ABCA\rightarrow A.2,P(BC).
] Таким образом два вида отношений имеют разные синтаксические и структурные функции. Фиксируются четыре обозначения: — разделение различных мер одного выбранного уровня или среза; — добавление следующей координаты вложенности; — разделение: — непосредственное повторение полной меры непосредственно перед скобками. Примеры: [
A(3),
] [
A.6,3186,
] [
A.6,3186(3),
] [
A.6,3186.3,P_2.
] После образования: [
A.6,3186
] эта запись рассматривается как одна цельная мера нового уровня. Поэтому: [
A.6,3186
Для повторения на новом уровне должна совпасть вся мера: [
A.6,3186
;|;
A.6,3186
;|;
A.6,3186
] даёт: [
A.6,3186(3).
] Пусть (L(X)) — уровень меры. Для базовых: [
L(A)=L(B)=L©=L(D)=0.
] После образования нового отношения: [
L(X(K))=L(X)+1,
] [
L(X.M,P)=L(X)+1.
] Следовательно: [
A
] — уровень 0; [
A.6,3186
] — уровень 1; [
A.6,3186(3)
] — следующий уровень; [
A.6,3186.3,P_2
] — также мера следующего уровня, но образованная другим типом отношения. На каждом уровне применяется один и тот же процесс: [
\mathcal M_k
] — множество доступных мер текущего уровня. Из них обнаруживаются: [
X(K)
] и: [
X.M,P.
] Результаты образуют меры следующего уровня: [
\mathcal M_{k+1}.
] То есть: [
\boxed{
\mathcal M_k
\overset{AN/ANA}{\longrightarrow}
\mathcal M_{k+1}
}
] и тот же механизм повторяется. Критически важно: [
\mathcal M_{k+1}
] не является обязательно одной единственной свёрнутой строкой. Из одного потока могут одновременно возникнуть несколько отношений. Для: [
A|D|C|B|D|C|B|A
] получаются: [
A.6,3186,
] [
D.2,2,
] [
C.2,8,
] [
B.2,13.
] Следовательно, слой отношений содержит: [
\boxed{
\mathcal R_1=
{
A.6,3186;
;
D.2,2;
;
C.2,8;
;
B.2,13
}
}.
] Это множество свёрток, существующих одновременно. В предыдущем примере интервалы: пересекаются и вкладываются. Это не является противоречием. Каждое отношение представляет отдельную меру одного и того же исходного пространства. Поэтому система не должна после обнаружения одной свёртки уничтожать остальные возможные отношения. Одной внутренней координаты меры недостаточно, чтобы описать многомерный слой. Необходимо различать: Для проявления меры вводится координата: [
\boxed{
\Lambda=(k,s,e)
}
] где: Например: [
\Lambda(A.6,3186)=(0,1,8),
] [
\Lambda(D.2,2)=(0,2,5),
] [
\Lambda(C.2,8)=(0,3,6),
] [
\Lambda(B.2,13)=(0,4,7).
] Таким образом одинаковая мера может проявляться в разных местах без смешения этих проявлений. Слой отношений уровня (k) можно представить как: {
(\mu_j,\Lambda_j)
}_{j\in J}
}
] где: Такое представление допускает: Это существенное условие непротиворечивости. Меры: [
A.6,3186,
\qquad
D.2,2,
\qquad
C.2,8,
\qquad
B.2,13
] принадлежат одному уровню отношений, но могут происходить из разных локальных классов. Поэтому само множество: [
\mathcal R_k
] не обязано автоматически быть одной последовательностью одного конечного алфавита. Оно является многомерным слоем. Если выбран конкретный локальный срез: [
W=
\mu_0|\mu_1|\dots|\mu_{M-1}
] и для этого среза существует однозначно определённое текущее основание: [
\Sigma_k
] с правилом: [
\mu\leftrightarrow\rho_k(\mu),
] тогда применяется то же самое позиционное правило: [
\boxed{
P=
1+
\sum_{i=0}^{M-1}
\rho_k(\mu_i)
N_k^{M-1-i}
}
] и весь выбранный срез получает: [
(class=M,;position=P).
] Таким образом правило вариантов не меняется от уровня к уровню. Основание следующего пространства не требуется материализовывать. Оно определяется правилом предыдущего уровня. Если фиксированный класс предыдущего уровня содержит: [
N^M
] вариантов, то они автоматически образуют упорядоченное пространство операторов: [
1,2,\dots,N^M.
] Новый оператор определяется своей координатой. Поэтому для обращения к нему достаточно: Физическое перечисление всех операторов не требуется. Если одновременно используются операторы из различных локальных классов, например: [
A.6,3186
] и: [
D.2,2,
] сама их принадлежность одному уровню ещё не задаёт единственный общий конечный Это не противоречие. Они могут существовать как разные координатные меры одного многомерного слоя. Чтобы присвоить их совместной последовательности единственный новый То есть: [
\boxed{
\text{один уровень}
Именно это соответствует многомерной природе конструкции. Позиционное правило сначала определяет точный вариант: [
(class,position)\leftrightarrow X.
] После этого на варианте действует Правило симметричных потоков: [
P(X)=
\begin{cases}
\operatorname{reverse}(X), & X Правило является инволютивным и разбивает варианты бинарного класса на пары. Это уже зафиксировано в архитектуре. Таким образом: Порядок вариантов класса при этом не уничтожается: симметрия образует дополнительный детерминированный слой над координатами вариантов. Так как: [
A=10,
\quad
B=01,
\quad
C=00,
\quad
D=11,
] операции Следовательно, отдельное независимое правило симметрии для Операторный уровень наследует симметрию бинарного основания через обратимое раскрытие: [
A/B/C/D
\leftrightarrow
0/1.
] Если мера высокого уровня имеет точное обратимое раскрытие до бинарного носителя, Правило симметричных потоков может применяться к её точному бинарному представлению. То есть: [
\mu_k
\rightarrow
\text{binary carrier}
\rightarrow
\text{partner}
\rightarrow
\text{координата партнёра}.
] Таким образом новые уровни не требуют изменения фундаментального правила Если мера (X) обратима, то: [
X(K)
] обратима. Из записи известны: [
X
] и: [
K.
] Следовательно, единственное раскрытие: [
X(K)\rightarrow X^K.
] Каждый экземпляр (X) раскрывается по собственной координате. Следовательно, исходная структура восстанавливается однозначно. Если: то: [
X.M,P
] обратима. По: [
(M,P)
] единственно восстанавливается: [
U_{M,P}.
] Следовательно: [
X.M,P
\rightarrow
X|U_{M,P}|X.
] Так как (X) и все элементы (U) имеют собственные обратимые координаты, вся структура восстанавливается. Пусть меры уровня (k) обратимы. Любая новая мера уровня (k+1), сформированная разрешёнными конструкциями: [
X(K)
] или: [
X.M,P
] обратима по предыдущим теоремам. Базовые операторы: [
A,B,C,D
] обратимы до: [
10,01,00,11.
] Следовательно, по индукции любая конечная мера, построенная по этим правилам, может быть раскрыта: [
\boxed{
\mu_k
\rightarrow
\mu_{k-1}
\rightarrow
\dots
\rightarrow
A/B/C/D
\rightarrow
0/1
}.
] Пусть один исходный поток породил: [
\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_r.
] Каждая мера имеет: Поэтому пересечение двух отношений не означает смешения их данных. Формально: [
(\mu_i,\Lambda_i)
если различается либо сама мера, либо место её проявления. Следовательно, многомерный слой может содержать произвольное конечное множество пересекающихся отношений без логического конфликта. Множество: [
\mathcal R_k
] не является автоматически: Это пространство одновременно найденных отношений. Конкретная новая последовательность возникает только при выборе определённого локального среза или пути внутри этого пространства. Тогда уже применяется правило: Определяет: Например: [
A.6,3186.3,P_2.
] Определяет: То есть одна и та же мера может иметь одну идентичность, но множество проявлений. Строго объект системы можно рассматривать как: [
\boxed{
\mathfrak M=
(
\text{IdentityCoordinate},
\text{OccurrenceCoordinate},
\text{Rule}
)
}
] где: задаёт внутреннюю меру, задаёт место её проявления, а: указывает, каким отношением она образована: При выполнении условий: следуют: [
\boxed{
\text{однозначность вариантов классов}
}
] [
\boxed{
\text{обратимость }X(K)
}
] [
\boxed{
\text{обратимость }X.M,P
}
] [
\boxed{
\text{рекурсивная обратимость конечной вложенности}
}
] [
\boxed{
\text{непротиворечивое сосуществование множества пересекающихся свёрток}
}.
] Из этих правил не следует, что для любого многомерного слоя существует единственная глобальная свёртка. И это не требуется системой. Наоборот: [
\boxed{
\text{один поток}
\rightarrow
\text{множество отношений}
}
] является частью самой конструкции. Также из принадлежности двух мер одному уровню не следует автоматически, что они уже входят в один и тот же локальный конечный алфавит. Для вычисления общего [
\boxed{
\Sigma_k
\rightarrow
\Sigma_k^M
\rightarrow
(class=M,\ position=P)
}
] [
\Downarrow
] [
\boxed{
X(K)
\quad\text{или}\quad
X.M,P
}
] [
\Downarrow
] [
\boxed{
\text{новая мера}
}
] [
\Downarrow
] [
\boxed{
\mathcal R_{k+1}
\quad
\text{множество найденных мер отношений}
}
] [
\Downarrow
] [
\boxed{
\text{локальные срезы нового уровня}
}
] [
\Downarrow
] [
\boxed{
\text{то же правило class/position}
}
] [
\Downarrow
] [
\boxed{
\text{следующие меры}
}
] и параллельно: [
\boxed{
X
\rightarrow
\operatorname{partner}(X)
}
] по Правилу симметричных потоков. Система представляет собой рекурсивное многомерное пространство операторных мер. На каждом локальном операторном пространстве действует одно и то же правило: Все варианты определяются вычислимо, без таблицы и перебора. Над вариантами выявляются два базовых вида повторения: — непосредственное повторение полной меры, и: — повторение полной меры через точно координатизированную внутреннюю последовательность. Из одного потока одновременно может формироваться множество таких свёрток. Они могут быть вложенными и пересекающимися и образуют многомерный слой отношений. Каждая свёртка: Следующий уровень не требует физического построения всего нового алфавита: его операторы определяются правилами предыдущего уровня и вычисляются локально по координатам. Правило формирования вариантов Правило симметричных потоков образует дополнительный детерминированный слой отношений над этими вариантами и наследуется через точный бинарный носитель. Таким образом конструкция не требует единственной свёртки потока. Она формирует постоянно изменяющееся множество точных, обратимых, координатизированных свёрток, каждая из которых способна становиться мерой следующего уровня анализа.размер N;
правило rank → operator;
правило operator → rank.
NumericOperator(basis, level, class, position) и прямому получению внутреннего оператора без вычисления предыдущих вариантов.
3. Класс
4. Position внутри класса
[
\boxed{
P(W)
5. Теорема однозначности варианта класса
Доказательство
position;position от (1) до (N^M) раскрывается ровно в одну последовательность.
6. Базовый операторный алфавит
7. Проверочный пример
8. Автоматическое формирование алфавита следующего уровня
правилом текущего уровня;
классом;
позицией;
прямым и обратным преобразованием.
9. Семейство алфавитов, а не обязательный единый глобальный список
basis
level
class
position
10. Первый вид отношения — непосредственное повторение
11. Обратимость непосредственного повторения
[
\operatorname{Expand}(X(K))
точную меру X;
точное количество K;
12. Второй вид отношения — повторение через внутреннюю меру
class=M и position=P внутри текущего локального пространства.
13. Проверочный пример ANA
14. Разделение AN и ANA
ANA имеет:
15. Синтаксис
|
.
,
class,position;
K
16. Рекурсивная идентичность меры
e
A.6,2000.
]
17. Повышение уровня
18. Рекурсивное применение
19. Многомерный слой отношений
20. Свёртки могут пересекаться
A........A
D..D
C..C
B..B
21. Координата проявления отношения
22. Математическая форма многомерного слоя
[
\boxed{
\mathcal R_k
вложенность;
пересечение;
повторение;
несколько отношений одной меры;
несколько типов отношений одновременно.
23. Многомерный слой не обязан иметь один общий position
24. Когда можно построить position следующего уровня
25. Автоматическое формирование основания
level;
class;
position.
26. Важное ограничение для разных классов
basis.position, должно быть известно правило того локального пространства, в котором эти меры рассматриваются совместно.
e
\text{обязательно один локальный class-space}
}.
]
27. Правило симметричных потоков и варианты классов
e\operatorname{reverse}(X),
[4pt]
\operatorname{invert}(X), & X=\operatorname{reverse}(X).
\end{cases}
]алфавит
→ class
→ position
→ точный вариант
→ симметричный партнёр
→ отношение
→ новая мера
28. Симметрия операторов A/B/C/D
reverse и invert могут быть вычислены через их точный бинарный носитель.A/B/C/D не требуется.
29. Симметрия более высоких уровней
reverse/invert.
30. Теорема обратимости X(K)
Доказательство
31. Теорема обратимости X.M,P
Доказательство
32. Теорема рекурсивной обратимости
33. Почему множество свёрток не нарушает обратимость
собственную точную координату;
собственный тип отношения;
собственную координату проявления.
e
(\mu_j,\Lambda_j)
]
34. Чего многомерный слой сам по себе не означает
единственной строкой;
единственной свёрткой;
единственным оператором;
единственным class/position.
алфавит
→ class
→ position.
35. Таким образом существуют два вида координат
Координата идентичности меры
что это за оператор;
из какого класса;
какой вариант;
какие уровни он содержит.
Координата проявления
где эта мера находится;
в каком пространстве;
на каком уровне;
какой диапазон она занимает.
36. Полная форма объекта
IdentityCoordinate
OccurrenceCoordinate
Rule
AN
ANA
Symmetry
...
37. Что считается доказанным данной конструкцией
rank ↔ operator;class является точным количеством элементов текущего локального пространства;position вычисляется единым позиционным правилом;X(K) сохраняет X и K;X.M,P сохраняет X, M, P и локальное основание;position вычисляется только внутри однозначно определённого локального пространства;
38. Главное ограничение доказательства
position должен быть определён их совместный локальный операторный space.
39. Итоговая математическая схема
Итоговая формулировка
упорядоченный алфавит
→ class
→ position
→ точный вариант
X(K)
X.M,P
имеет собственную идентичность;
имеет координату проявления;
полностью обратима;
может стать мерой следующего уровня.
class/position остаётся одним и тем же на всех уровнях.