Дополнение к Закону разреженной статичной симметрии Н.А. Тенетко
Дополнение к Закону разреженной статичной симметрии Н.А. Тенетко LaTEX
Закономерность между классами при применении Правила симметричных потоков к десятичной системе счисления
Н.А. Тенетко
Настоящее дополнение фиксирует прямой математический вывод Закона разреженной статичной симметрии из Правила симметричных потоков (P_{10}). Экспериментальный перебор классов (n=1,\dots,8) рассматривается отдельно как инженерная проверка реализации и не используется вместо математического доказательства.
1. Исходное правило
Пусть
[ X=d_1d_2\dots d_n, \qquad d_i\in{0,1,\dots,9}. ]
Определяются две операции:
[ R(X)=d_n\dots d_2d_1 ]
— зеркальное отражение,
и
[ C_{10}(X)
(9-d_1)(9-d_2)\dots(9-d_n) ]
— десятичное дополнение.
Правило симметричного партнёра:
[
\boxed{
P_{10}(X)=
\begin{cases}
R(X), & X
eq R(X),\[4pt]
C_{10}(X), & X=R(X).
\end{cases}
}
]
Обе операции являются инволюциями:
[ R(R(X))=X, ]
[ C_{10}(C_{10}(X))=X. ]
Кроме того,
[ \boxed{ R(C_{10}(X))
C_{10}(R(X)) }. ]
Для десятичного дополнения неподвижная цифра невозможна:
[ d=9-d ]
означало бы
[ 2d=9, ]
[ d=4.5, ]
что не является десятичной цифрой.
Следовательно:
[ P_{10}(P_{10}(X))=X ]
и
[
P_{10}(X)
eq X.
]
Поэтому весь класс из (10^n) последовательностей разбивается на непересекающиеся двухэлементные пары.
Число первичных симметричных пар:
[ \boxed{ T_n
\frac{10^n}{2}
5\cdot10^{n-1}. } ]
2. I-static
I-static возникает, когда исходная последовательность является палиндромом:
[ X=R(X). ]
Тогда партнёр задаётся дополнением:
[ X\leftrightarrow C_{10}(X). ]
Чётный класс
Пусть
[ n=2k, \qquad k\ge1. ]
Палиндром полностью определяется первыми (k) цифрами. Поэтому палиндромных последовательностей:
[ 10^k. ]
Дополнение не имеет неподвижных последовательностей и соединяет эти палиндромы попарно.
Следовательно:
[ \boxed{ I_{2k}
\frac{10^k}{2}
5\cdot10^{k-1}. } ]
Нечётный класс
Пусть
[ n=2k+1, \qquad k\ge0. ]
Палиндром определяется первыми (k) цифрами и центральной цифрой, то есть всего (k+1) свободными цифрами.
Следовательно, палиндромов:
[ 10^{k+1}. ]
Они также попарно соединяются дополнением:
[ \boxed{ I_{2k+1}
\frac{10^{k+1}}{2}
5\cdot10^k. } ]
3. R-static
R-static определяется условием:
[ \boxed{ R(X)=C_{10}(X). } ]
Чтобы не смешивать оператор отражения ® и число R-static пар, обозначим число R-static пар через (J_n).
Для
[ X=d_1d_2\dots d_n ]
условие R-static равносильно:
[ \boxed{ d_i+d_{n+1-i}=9 } ]
для каждой зеркально расположенной пары цифр.
Чётный класс
Для
[ n=2k, \qquad k\ge1, ]
первые (k) цифр выбираются свободно.
После выбора каждой цифры (d_i) противоположная цифра определяется однозначно:
[ d_{2k+1-i}=9-d_i. ]
Следовательно, таких последовательностей:
[ 10^k. ]
Каждая R-static пара содержит две последовательности:
[ X\leftrightarrow R(X)=C_{10}(X). ]
Поэтому:
[ \boxed{ J_{2k}
\frac{10^k}{2}
5\cdot10^{k-1}. } ]
Нечётный класс
Для
[ n=2k+1, \qquad k\ge0, ]
существует центральная цифра (d_{k+1}).
Условие R-static потребовало бы:
[ d_{k+1}=9-d_{k+1}, ]
то есть:
[ 2d_{k+1}=9, ]
[ d_{k+1}=4.5. ]
Это невозможно.
Следовательно:
[ \boxed{ J_{2k+1}=0. } ]
Таким образом, R-static существуют только в чётных десятичных классах.
4. Полное число статичных пар
Обозначим:
[ S_n=I_n+J_n. ]
Для чётного класса:
[ S_{2k}
5\cdot10^{k-1} + 5\cdot10^{k-1}. ]
Следовательно:
[ \boxed{ S_{2k}=10^k. } ]
Для нечётного класса:
[ S_{2k+1}
5\cdot10^k+0. ]
Следовательно:
[ \boxed{ S_{2k+1}=5\cdot10^k. } ]
Получена полная формула статичной части каждого десятичного класса.
5. Переходящие R-пары
Все первичные пары либо статичны, либо являются переходящими R-парами.
Поэтому:
[ \boxed{ Q_n=T_n-S_n. } ]
Для чётного класса:
[ \boxed{ Q_{2k}
5\cdot10^{2k-1}
10^k. } ]
Для нечётного класса:
[ \boxed{ Q_{2k+1}
5\cdot10^{2k}
5\cdot10^k. } ]
6. Мета-пары
Пусть переходящая R-пара:
[ \pi={X,R(X)}. ]
Определим действие дополнения на пространстве первичных пар:
[ \mathcal C_n(\pi)
{C_{10}(X),C_{10}(R(X))}. ]
Поскольку:
[ R(C_{10}(X))
C_{10}(R(X)), ]
полученная структура также является R-парой.
Кроме того:
[ \mathcal C_n^2(\pi)=\pi. ]
То есть дополнение действует на переходящих R-парах как инволюция.
Если бы переходящая пара оставалась неподвижной:
[ \mathcal C_n(\pi)=\pi, ]
то при невозможности
[ C_{10}(X)=X ]
оставался бы только случай:
[ C_{10}(X)=R(X), ]
а это определение R-static.
Следовательно, среди переходящих R-пар неподвижных точек нет.
Поэтому переходящие R-пары разбиваются пополам на мета-пары:
[ \boxed{ M_n
\frac{Q_n}{2}
\frac{T_n-S_n}{2}. } ]
7. Закон изменения статичной структуры через два класса
Теперь сравним классы одинаковой чётности.
Для чётного класса:
[ S_{2k}=10^k. ]
Через два класса:
[ S_{2k+2}=10^{k+1}. ]
Следовательно:
[ S_{2k+2}=10S_{2k}. ]
Для нечётного класса:
[ S_{2k+1}=5\cdot10^k, ]
а:
[ S_{2k+3}=5\cdot10^{k+1}. ]
Следовательно:
[ S_{2k+3}=10S_{2k+1}. ]
Таким образом, независимо от чётности:
[ \boxed{ S_{n+2}=10S_n. } ]
Одновременно:
[ T_n=5\cdot10^{n-1}, ]
поэтому:
[ T_{n+2}
5\cdot10^{n+1}
100T_n. ]
Следовательно:
[ \boxed{ T_{n+2}=100T_n. } ]
Это означает:
при увеличении длины последовательности на два разряда полное пространство симметричных пар увеличивается в (100) раз, тогда как число статичных симметричных пар увеличивается только в (10) раз.
8. Закон разрежения статичной симметрии
Определим относительную плотность статичной части:
[ \rho_n=\frac{S_n}{T_n}. ]
Для чётных классов:
[ \boxed{ \rho_{2k}
2\cdot10^{-k}. } ]
Для нечётных классов:
[ \boxed{ \rho_{2k+1}
10^{-k}. } ]
Теперь:
[ \rho_{n+2}
\frac{S_{n+2}}{T_{n+2}}
\frac{10S_n}{100T_n}. ]
Следовательно:
[ \boxed{ \rho_{n+2}
\frac{\rho_n}{10}. } ]
Это и является основным законом разреженной статичной симметрии:
при переходе через два десятичных класса абсолютное число статичных симметричных пар возрастает в (10) раз, но их относительная плотность среди всех симметричных пар уменьшается ровно в (10) раз.
То есть одновременно выполняются:
[ \boxed{ S_{n+2}=10S_n, } ]
[ \boxed{ T_{n+2}=100T_n, } ]
[ \boxed{ \rho_{n+2}=\frac{\rho_n}{10}. } ]
9. Двухтактная структура соседних классов
При движении по соседним классам абсолютное число статичных пар изменяется не одинаковым шагом.
Из нечётного класса в следующий чётный:
[ S_{2k+2}
2S_{2k+1}, \qquad k\ge0. ]
Из чётного класса в следующий нечётный:
[ S_{2k+1}
5S_{2k}, \qquad k\ge1. ]
Следовательно:
[ \boxed{ \times2 \rightarrow \times5 \rightarrow \times2 \rightarrow \times5 \rightarrow\dots } ]
Для плотности действует обратная последовательность.
Из нечётного класса в следующий чётный:
[ \rho_{2k+2}
\frac{\rho_{2k+1}}{5}. ]
Из чётного класса в следующий нечётный:
[ \rho_{2k+1}
\frac{\rho_{2k}}{2}. ]
Следовательно:
[ \boxed{ \div5 \rightarrow \div2 \rightarrow \div5 \rightarrow \div2 \rightarrow\dots } ]
Полный двухклассовый цикл всегда даёт:
[ \boxed{ \div10 }. ]
10. Состав статичной части
Для каждого чётного класса:
[ I_{2k}=J_{2k}. ]
Следовательно:
[ \boxed{ 50%\ I\text{-static} + 50%\ R\text{-static}. } ]
Для каждого нечётного класса:
[ J_{2k+1}=0. ]
Следовательно:
[ \boxed{ 100%\ I\text{-static} + 0%\ R\text{-static}. } ]
Таким образом, внутренний состав статичной части пульсирует:
[ \boxed{ 100/0 \leftrightarrow 50/50 \leftrightarrow 100/0 \leftrightarrow 50/50 \leftrightarrow\dots } ]
11. Отношение переходящей и статичной частей
Поскольку:
[ Q_n=T_n-S_n, ]
получаем для чётных классов:
[ \boxed{ \frac{Q_{2k}}{S_{2k}}
5\cdot10^{k-1}-1. } ]
Это даёт:
[ 4,\ 49,\ 499,\ 4999,\dots ]
Для нечётных классов:
[ \boxed{ \frac{Q_{2k+1}}{S_{2k+1}}
10^k-1. } ]
При (k=0) получаем:
[ 0. ]
При (k\ge1):
[ 9,\ 99,\ 999,\ 9999,\dots ]
Следовательно, при росте класса переходящая часть становится доминирующей:
[ \boxed{ \frac{Q_n}{T_n}\rightarrow1. } ]
12. Поведение мета-пар
Так как:
[ M_n=\frac{Q_n}{2}, ]
то:
[ \frac{M_n}{T_n}
\frac{1-\rho_n}{2}. ]
Поскольку:
[ \rho_n\rightarrow0, ]
следовательно:
[ \boxed{ \frac{M_n}{T_n} \rightarrow \frac12. } ]
Для первых классов:
[
0;
0.4;
0.45;
0.49;
0.495;
0.499;
0.4995;
0.4999;\dots
]
Таким образом, по мере роста класса почти вся первичная структура становится переходящей, а количество мета-пар относительно числа первичных пар стремится к одной второй.
13. Итоговая закономерность между классами
Правило симметричных потоков задаёт для каждого десятичного класса одну и ту же операторную процедуру, но количественное выражение возникающих структур изменяется по строгому закону.
Основной двухклассовый переход:
[ \boxed{ n\rightarrow n+2 } ]
даёт:
[ \boxed{ T\times100, \qquad S\times10, \qquad \rho\div10. } ]
При этом соседние классы образуют двухтактное изменение:
[ \boxed{ S: \quad \times2, \times5, \times2, \times5, \dots } ]
и:
[ \boxed{ \rho: \quad \div5, \div2, \div5, \div2, \dots } ]
с чередованием состава статичной части:
[ \boxed{ 100%\ I\text{-static} \leftrightarrow 50%\ I\text{-static} + 50%\ R\text{-static}. } ]
Таким образом, Закон разреженной статичной симметрии является не наблюдением отдельных числовых примеров, а прямым следствием структуры операций ®, (C_{10}) и Правила симметричных потоков (P_{10}).
14. Статус математического и инженерного подтверждения
Формулы и межклассовые отношения выше получены прямым комбинаторным выводом для произвольной длины (n).
Экспериментальный перебор:
[ n=1,\dots,8 ]
и:
[ 111,111,110 ]
десятичных последовательностей имеет другую задачу: он проверяет, что конкретная инженерная реализация воспроизводит математически определённое правило и полученные формулы без расхождений.
Поэтому необходимо различать:
[ \boxed{ \text{математический вывод закона} } ]
и:
[ \boxed{ \text{исчерпывающую инженерную валидацию его реализации}. } ]
Они не заменяют друг друга, а проверяют одну и ту же конструкцию на разных уровнях.